Question

求y''+4y=xcosx的通解时，特解的方程应该如何计算

特解的方程为（3cx+3d-2a）sinx+(3ax+3b+2c)cosx=xcosx,请问这个方程中的abcd应该怎么解，请给出详细过程

Answer 1

解:∵微分方程为y"+4y=xcosx ∴微分方程的特征值为-2 又∵微分方程的右式为xcosx ∴设方程的特解为y=(ax+b)cosx+(px+q)sinx，有y'=acosx-(ax+b)sinx+psinx+(px+q)cosx，y"=-2asinx-(ax+b)cosx+2pcosx-(px+q)sinx ∴有-2asinx+3(ax+b)cosx+2pcosx+3(px+q)sinx=xcosx，得:3a=1，2p+3b=0，3p=0，3q-2a=0；a=1/3，q=2/9

∴方程的特解为y=(x/3)cosx+(2/9)sinx

举几个解微分方程的例子

希望对你有帮助

Answer 2

解:∵微分方程为y"+4y=xcosx ∴微分方程的特征根为sin2x、cos2x 又∵方程右式为xcosx ∴设方程的特解为y=(ax+b)sinx+(cx+r)cosx，y'=asinx+(ax+b)cosx+

+ccosx-(cx+r)sinx，y'=(a-cx-r)sinx+(ax+b+c)cosx，

y"=-csinx+(a-cx-r)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx，

y"=(2a-cx-r)cosx-(ax+b+2c)sinx，有(2a-cx-r)cosx-

(ax+b+2c)sinx+4(ax+b)sinx+4(cx+r)cosx=xcosx，

(3ax+3b-2c)sinx+(3cx+3r+2a)=xcosx，有a=0，3b=2c，3c=1，3r+2a=0，得:a=0，b=2/9，c=1/3，r=0

∴方程的特解为y=(2/9)sinx+(x/3)cosx

请参考

Answer 3

y=C1* cos 2x +C2* sin 2x + cosx /3,C1,C2∈R 1.如果照当时所说，易得特解为cosx /3,而y"+4y=0的通解由解常微分方程 方法极易得出（算法系数矩阵的特征值法），两个相加就有上述答案。 2. 若不满意，则可以推算出解的表达式

Answer 4

常数系非齐次线性方程 第二种类型 λ=0,ω=1,p₁(x)=x,p₂(x)=0 齐次方程y''+4y=0 特征方程r²+4=0,λ+iω=i不是特征方程的根 所以设特解为：

Answer 5

y''+4y=xcosx
The aux. eqution
p^2+4=0
p=2i or -2i
let
yg= Acos2x+Bsin2x
yp=(Cx+D)cosx +(Ex+F)sinx
yp'
=-(Cx+D)sinx +Ccosx +(Ex+F)cosx +Esinx
=(-Cx-D+E)sinx +(Ex+C+F)cosx
yp''
=(-Cx-D+E)cosx -Csinx -(Ex+C+F)sinx + Ecosx
=(-Cx-D+2E)cosx +(-Ex-2C-F)sinx
yp''+4yp=xcosx
(-Cx-D+2E)cosx +(-Ex-2C-F)sinx +4[(Cx+D)cosx +(Ex+F)sinx] = xcosx
(3Cx+3D+2E)cosx +(3Ex-2C+3F)sinx = xcosx
=>
C=1/3 (1)
3D+2E=0 (2)
E=0 (3)
-2C+3F =0 (4)
from (2) and (3)
D=0
from (1) and (4)
-2/3 +3F =0
F=2/9
ie
yp=(Cx+D)cosx +(Ex+F)sinx =(1/3)xcosx +(2/9)sinx
通解
y=yg+yp=Acos2x+Bsin2x +(1/3)xcosx +(2/9)sinx