Question

为什么级数发散？

Answer 1

这明显是广义级数，其中p=1，q=1的情况，级数发散。具体如下图

Answer 2

因为

证明方法如下：

Cauchy积分判别法

∫[3->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[3->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [3->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

关键项(∞)^(1-p),当p>1时,为0,p1收敛,p∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[3->∞]1/xlnxdx=∫[3->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [3->∞] = lnln∞-lnln3发散

故∑1/nlnn发散

之所以产生疑惑，是因为对数列收敛和级数收敛的概念产生混淆：

数列1/nlnn收敛，也就是说1/nlnn是有极限的，极限就是0

题目说的是Σ1/nlnn不收敛（暮不语 高粉答主）

也就是1/2ln2+1/3ln3+1/4ln4+……1/nlnn加起来，不收敛，没有极限。

Answer 3

级数添加或去掉有限项，级数的敛散性不变.
考察当n≥3时的级数，因为当n≥3时，ln(1+n)>1成立，於是ln(1+n)/n>1/n成立
而级数∑(n=3→∞)1/n发散，根据比较审敛法，原级数发散