Question

一道高中数学不等式的题目

设正实数a1,a2,......an(n>=2)满足a1+a2+......+an=1,求西格玛（i属于1到n），ai/(2-ai),的最小值
PS：有些东西不好打，意会一下吧

Answer 1

【注（1）x/(2-x)=[2-(2-x)]/(2-x)=[2/(2-x)]-1.===>1+[x/(2-x)]=2/(2-x).(2)柯西不等式：(a1²+a2²+...+an²)(b1²+b2²+...+bn²)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)².】解：可设Sn=a1/(2-a1)+a2/(2-a2)+a3/(2-a3)+...+an/(2-an).两边同加n,可得(Sn)+n=[2/(2-a1)]+[2/(2-a2)]+[2/(2-a3)]+...+[2/(2-an)].由柯西不等式可得[(2-a1)+2-a2)+(2-a3)+...+(2-an)]×[2/(2-a1)+2/(2-a2)+...+2/(2-an)]≥[(√2)n]².即[(Sn)+n](2n-1)≥2n².===>Sn≥n/(2n-1). 等号仅当a1=a2=a3=...=an=1/n时取得，故原式的最小值为n/(2n-1).

Answer 2

∑(i=1，n)ai/(2-ai)=∑(i=1，n)[2/(2-ai)-1]=2[∑(i=1，n)1/(2-ai)]-n
其中前一部分用均值,调和均值≤算术均值,算得最小值是2n²/(2n-1),减去n即的答案

Answer 3

原式=2[西格玛（i属于1到n）1/(2-ai)]-n
>=2*n^2/[西格玛（i属于1到n）(2-ai)]-n
=2*n^2/(2n-1)-n
=n/(2n-1)