Question

平行线与相交线

Answer 1

      说到相交线与平行线，那让我们先来探究一下点线面的关系。首先，两个点有什么样的位置关系呢？答案有两个：两个点重合与两个点不重合，除了这两种情况，没有别的了。那么三个点呢？还是两种关系：三点共线和三点不共线。那四点呢？四点可以有三种情况，比如四点共线、三点共线、任意三点不共线。

        那么，两条直线有怎样的位置关系呢？很显然，一种是相交，一种是平行，不过相交还有一种特殊型的，就是垂直。那么，如何定义相交呢？相交就是两条直线有一个公共点。那平行呢？就是在同一平面内不相交的两条直线叫平行。为什么要在同一平面内呢？因为如果不规定在同一平面，那两条线就有可能是在空中的，即不相交也不平行。

        那么接下来，让我们来探究相交直线构成哪些有趣的角呢？先画图，

我们将直线AB交CD于点O，我们会发现，∠AOC+∠AOC=180°,这是因为平角定义，我们可以知道∠COD=180°，我们把这样的角，命名为邻补角。其次，你会发现途中形成了两组对顶角，那通过刚刚得出的邻补角，可以证出对顶角相等。所以，你凡是遇到两个角是对顶角，那它们的度数一定相等。

      我们还会发现在一条直线上的两个角相加等于180度，那么这样的角叫做互补，如果两个角相加等于90度，那么这两个角互余。

        如果（假设）∠2+∠3=180°，由图你又可以得知∠2+∠4=180°，那么如果将这两个式子进行化简，你就会得到∠3=∠4。所以我们称这个结论为：同角的补角相等。那么同理，我们还可以得到：同角的余角相等。

        那在垂线这里，我们可以得到什么结论呢？如果过一点画直线，那么想到这段距离最短的话，就要画垂线段。所以我们可以得出结论：垂线段最短。

        相交（垂直）线说完，那么接下来我们该说说平行线了。平行线中有非常重要的一个图形，就是三线八角（两条直线被第三条直线所截）。那么，这个三线八角会有哪些奥秘呢？

如果∠1=∠2，那么a∥b。它没有什么依据，所以我们称这种方法为“不证自明”。我们叫这种角为同位角，那么它的文字语言就是同位角相等，两直线平行。所以我们称这为“平行线判定定理1”。

那除了同位角，还有哪些特殊的角，可以判定平行吗？有没有平行线判定定理2，平行线判定定理3呢？

肯定是有的，还有内错角和同旁内角。

先来说一说内错角，如图，我们可以知道∠1=∠8，它们形成了一个内错角，那我们该怎么证明呢？通过对顶角相等我们可以知道∠4=∠8，那么∠1和∠4又是同位角，那么我们可以用平行线判定定理1，得出a∥b。所以，这就是平行线判定定理2:内错角相等两直线平行。

接下来让我们来说同旁内角

如图，已知∠1+∠2=180°，求a∥b。我们知道∠1+∠2=180°，用平角定义又可以得出∠2+∠8=180°，所以运用同角的补角相等这个依据可以得出∠1=∠8。所以我们用平行线判定定理2求出了a∥b。所以，这就是平行线判定定理3:同旁内角互补，两直线平行。

这三条都是平行线的判定定理。那么我们可以根据同样的方法，推出与他互逆的平行线的性质定理。

也同样有三条：

那下面就让我们一起来证明吧！如图

先来说一说同位角，也就是平行线性质定理一。已知a∥b，那么∠1＝∠2。为什么会这样呢？它为什么没有什么证明过程？我们知道，平行线的判定定理一是不证自明的，那么同样，平行线的性质定理一也是不证自明的。就像这样

那么在我们知道了两直线平行同位角相等（也就是平行线的性质定理一），我们就可以试着求出平行线的性质定理二和平行线的性质定理三了。先来说一说平行线的性质定理二。

如图，已知了a∥b，求证∠3=∠4。由a∥b可以得出∠4等于∠8，依据是平行线的性质定理一，又通过对顶角相等，可以得出∠3等于∠8，所以再根据等量代换就可以得出∠3=∠4。这就是平行线的性质定理二，两直线平行，内错角相等。

接下来，让我们来探究一下同旁内角。

如图，已知a∥b，求证∠2+∠3=180°。我们会发现它有两种解答方法，一种是用平行线性质定理一，一种是用平行线性质定理二。以上为方法和步骤。

那么，我们还可以用平行线解决那些问题呢？比如三角形的内角和与外角和（包括四边形及多边形）；还有三角形的外角定理：一个外角等于与这个角不相邻的两个内角的度数和等等。

那么未来呢？在未来我们会探索些什么呢？在未来，我们可能会探索三角形的外角和以及全等三角形……那么对此你是否充满兴趣？！

这就是我关于平行线和相交线的探索。