线性代数第一章行列式
用消元法解二元线性方程组：
为消去未知数x2,以及a22与a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得：
当a11a22-a12a21不等于0时，求得方程组（1）的解为：
把a11到a22的实联线称为主对角线，a12到a21的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
利用二阶行列式的概念，（2）式中x1,x2的分子也可以写成二阶行列式，即：
若记：
求解二元线性方程组
设有9个数排成3行3列的数表：
记：
计算三阶行列式：
按对角线法则，有
求解方程：
方程左端的三阶行列式
先看一个例子
引例 用1,2,3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：
这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从1,2,3三个数字中任选一个，所有有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有一种放法。因此，共有3 2 1=6种放法。
这6个不同的三位数是：
123，231,312,132,213,321
在数学中，把考察的对象，例如上例中的数字1,2,3叫做元素。上述问题就是：
把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）
n个不同元素的所有排列的种数，通常用 表示。由引例的结果可知
为了得出计算 的公式，可以仿照引例进行讨论：
从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；
又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；
这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法。于是：
下面来讨论计算排列的逆序数的方法：
不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序，设
求排列32514的逆序数
在排列32514中：
3排在首位，逆序数为0；
2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1；
5是最大数，逆序数为0；
1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数为3；
4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1，于是这个排列的逆序数为
为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构，三阶行列式定义为：
设有 个数，排成n行n列的数表：
的项，其中p1p2...pn为自然数1,2，。。。n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，因为形如（7）式的项共有n！项。所有这n!项的代数和：
证明n阶行列式
其中未写出的元素都是0.
第一式左端称为对角行列式，其结果是显然的，下面只证第二式。
在第二式左端中， 为行列式的(i,n-i+1)元，故记 则依行列式定义
证明下三角行列式
为了研究n阶行列式的性质，先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做 相邻对换 。
证 先证相邻对换的情形。
再证一般对换的情形。
证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知推论成立。
利用定理1，下面来讨论行列式定义的另一种表示法：
对于行列式的任一项
于是
记
于是D与D1中的项可以一一对应并相等，从而D=D1
证
由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的队列也同样成立，反之亦然。
证 设行列式
第i行（或列）乘以k，记作ri k(或ci k)。
第i行（或列）提出公因子k，记作ri/k(或ci/k).
则D等于下列两个行列式之和：
例如以数k乘第j列加到第i列上（记作ci+kcj）,有
计算
设
计算2n阶行列式
