Question

求｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜+｜x-6｜的最小值

Answer 1

设f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|，
当x≦1时，f(x)=1-x+2-x+3-x+4-x+5-x+6-x=21-6x, 单调减少，最小值为f(1)=15;
当1<x≦2时，f(x)=x-1+2-x+3-x+4-x+5-x+6-x=19-4x，单调减少，最小值为f(2)=11；
当2<x≦3时，f(x)=x-1+x-2+3-x+4-x+5-x+6-x=15-2x, 单调减少，最小值为f(3)=9；
当3<x<4时，f(x)=x-1+x-2+x-3+4-x+5-x+6-x=9，为常数；
当4≦x<5时，f(x)=x-1+x-2+x-3+x-4+5-x+6-x=2x+1, 单调增加，最小值为f(4)=9;
当5≦x<6时，f(x)=x-1+x-2+x-3+x-4+x-5+6-x=4x-9, 单调增加，最小值为f(5)=11;
当x≧6时，f(x)=x-1+x-2+x-3+x-4+x-5+x-6=6x-21, 单调增加，最小值为f(6)=15.
综上，当3≦x≦4时，f(x)取最小值9

Answer 2

当 3≤x≤4 时，
|x-3|+|x-4|=4-x+x-3=1
|x-2|+|x-5|=5-x+x-2=3
|x-1|+|x-6|=6-x+x-1=5
所以 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| 的最小值为1+3+5=9