Question

一文通俗搞懂线性无关特征向量个数≤特征值重数

Answer 1

比如 2维向量： 能找到  和 两个线性无关的向量，能表示二维平面里面的所有向量。

3维向量： 能找到 ， ， 三个线性无关的向量，能表示三维立体空间里面的所有向量。

n阶行列式：

以5阶为例，一起来找规律。

由此可见，其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。

于是我们将此规律扩展到n维：

至此两个需要用到的tips讲完了，接着开始证明。

设A为n阶矩阵， 是它特征值（重根）， ~ 分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是 的重数要≥m

由于   ~ 为n维向量，所以一定能找到 ~ ，使 ~ 线性无关且可以表示任何一个n维向量（根据 前面tip 1得到的 ）.

因此可以构造出一个n阶可逆矩阵 

由特征值与特征向量的关系： 得

又因为： 的结果为n维向量（i=m+1，m+2，…，n）

所以 的结果可以用 ~ 线性表示出来（ 根据tip 1得到的 ），即：

所以就有：                                 

左边：

右边：

即得：

最后取行列式得：

左边： 

右边： 根据之前的tip 2得：  

即得：

所以可以得到  至少为m重根，为什么至少呢？因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个 出来，所以用至少这个词。

到此为止，我们得到想证的 的重数要≥m，命题成立。