Question

a>0 b>0 a+2b=12 求a²b的最大值

Answer 1

a+2b=12

a=12-2b
a=2(6-b)
代入a=2(6-b)
a²b=b[2(6-b)]²
因为a＞0，所以2(6-b)＞0，且（6-b）＞0
可得b＞0，b＜6
代入b=1，b[2(6-b)]²=100
代入b=2，b[2(6-b)]²=128
代入b=3，b[2(6-b)]²=108
做到这里，你会发现，如果没有a和b是整数的这个前提，根本就代不完，因为代入b=1和3，得到的结果不是一样的，可以说明b=2代出的数字并不是最大值，而答案很可能是有小数点的，具体几位不知道。
假设a和b都是整数，那么a²b最大值就是128了。
假设b是到1位小数，
先代b=2.5，b[2(6-b)]²=122.5
b=2.3，b[2(6-b)]²=125.948
b=2.1，b[2(6-b)]²=127.764
都还是比代入b=2还小，所以基本可以确定，b=2可以让ab的值变成最大，即128
（ps：我后来又代入了b=2.0001，拿到的数值也是比128小一点，所以128确定是最大值了）

Answer 2

∵ a+2b=12,
∴a=12-2b,
设y=a²b,则
y=a²b=(12-2b)²b
=4b³-48b²+144b，
y'=12b²-96b+144,
令y'=0,得x=2或x=6，
∴可知当x∈(-∞,2),(6,+∞)时y'>0,
当x∈(2,6)时y'<0,
所以函数y在(0,2),(6,+∞)单增，在（2,6）单减，
所以有最小值：y=4x6³-48x6²+144x6=0.无最大值。

Answer 3

当a=b﹥0时a^2b有最大值a+2b=12
a=b=4时a^2b最大值为4^3=64