Question

矩阵的特征值怎么求

Answer 1

设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值。求矩阵的特征值的方法：计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式 A x=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式 A x=λx也可写成(A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A-λE|=0。

矩阵特征值的求法

对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=0即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是

即说明特征根是特征多项式|λ0E-A|=0的根，由代数基本定理

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。