Question

余弦定理公式推导

Answer 1

余弦定理公式推导：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2，

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2，

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2，

b2=c2+a2-2accosB，

cosB=(c2+a2-b2)/2ac。

余弦定理的定义和常见变形：

1.余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=a2=b2+b2+c2−c2−2bccosA2bccos⁡A，b2=b2=c2+c2+a2−a2−2cacosB2cacos⁡B，c2=c2=a2+a2+b2−b2−2abcosC2abcos⁡C，

2.余弦定理的常见变形

（1)cosA=b2+c2−a22bccos⁡A=b2+c2−a22bc;

（2)cosB=a2+c2−b22accos⁡B=a2+c2−b22ac;

（3)cosC=a2+b2−c22abcos⁡C=a2+b2−c22ab。

3.利用余弦定理可以解决的问题

（1)已知三边，求各角；

（2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角；

（3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边。