Question

三次方程求根公式?

Answer 1

ax^3+bx^2+cx+d的标准型
化成
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0
可以写成
x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0
其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a
令y=x-a1/3
则y^3+px+q=0
其中p=-(a1^2/3)+a2
q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3
2)用1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式.再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式.
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根.
解之得,y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组
u1= A（1/3）,v1= B（1/3）
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即
x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式.你直接套用就可以求解了.
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式.
当△>=0时,有一个实根和两个共轭复根；
当△