正弦定理和余弦定理所有公式
1、正弦定理。对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形,有:
sinA/a=sinB/b=sinC/c。
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC。
其中R是三角形的外接圆半径。
2、余弦定理。
cosA=(b²+c²-a²)/2bccosA=邻边比斜边。
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA。
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB。
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC。
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)。
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)。
cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)。
2024-04-02 广告
一、正弦定理公式
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。下同。
【注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中,三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。
正弦定理推论公式
1、(1)a=2RsinA;
(2)b=2RsinB;
(3)c=2RsinC。
2、(1)a:b=sinA:sinB;
(2)a:c=sinA:sinC;
(3)b:c=sinB:sinC;
(4)a:b:c=sinA:sinB:sinC。
【注】多用于“边”、“角”间的互化。
3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得:
(1)(a+b)/(sinA+sinB)=2R;
(2)(a+c)/(sinA+sinC)=2R;
(3)(b+c)/(sinB+sinC)=2R;
(4)(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。
4、三角形ABC中,常用到的几个等价不等式。
(1)“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”,三者间两两等价。
(2)“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。
(3)“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。
(4)“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。
5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。
二、余弦定理公式
(1)a^2=b^2+c^2-2bccosA;
(2)b^2=a^2+c^2-2accosB;
(3)c^2=a^2+b^2-2abcosC。
【注】余弦定理及其推论适用于所有三角形。初中数学,三角形内角的余弦值等于“邻比斜”仅适用于直角三角形。
余弦定理推论公式
1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;
2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;
3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题,需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。
【例题】已知三角形△ABC中,角A=30°,a=2,求三角形△ABC外接圆的面积。
解:设三角形ABC外接圆半径为R,
根据正弦定理得:a/sinA=2R,
所以R=a/(2sinA)=2,
所以,三角形ABC的外接圆面积S=4π。