长方体和正方体的体积
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第十一讲、长方体和正方体的体积
1、容积与体积基本概念
体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。
当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积大于容积。
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）
2、体积计算方法：
长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽
体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。
体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。
体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。
（1）判断：
体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大． （ ）
正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（ ）
表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等． （ ）
长方体的体积就是长方体的容积． （ ）
（2）一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（ ）立方分米．
（3）一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（ ）厘米．
（4）表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米
（5）一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（ ）厘米铁丝，是求长方体（ ）；在表面贴上塑料板，共要（ ）塑料板，是求（ ）；在里面能盛多少升水是求（ ），这个盒子有（ ）立方厘米是求（ ）．
（6）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米．
（7）一个正方体棱长2厘米，体积是（ ）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（ ）立方厘米。
（8）一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（ ）是 6立方米．
（9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ ）．
①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等
（10）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）．
①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等． ③表面积相等，体积不相等．
1、要制作140个棱长5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？
2、某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？
3、长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
4、一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？
5、有一块面积为36平方分米的正方形铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？
6、用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（ ）立方分米。
3、体积大小的比较
对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。
对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。
例如：有一个长为8分米，高为5分米，体积为240立方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？
分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积<硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。
我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。
通过计算硬纸盒的长=8分米
宽=240÷（8×5）=6分米
高=5分米
陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米
高=4分米
我们可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。
练习：
1.有一个长方体玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？
2.有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为10分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装得进去？
4、棱长变化对体积的影响
（1）正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍
（2）长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。 5、一个棱长1米的大正方体能分成（ ）个棱长是1厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排（ ）米。
（3）一个表面积为36平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（ ）平方厘米。
（4）一个正方体棱长缩小2倍，表面积缩小（ ）倍，体积缩小（ ）倍。
5、切割组合对体积的影响
练习：
（1）一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？
（2）一个长方体，把它的高减少5厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了
200平方厘米，求原来的体积是多少？
（3）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了80平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
（4）一个棱长为1分米的正方体木块切割成棱长是1厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
（5）一个长方体木箱，从里面量长0.6米，宽0.4米，高0.2米，这个长方体木箱内能装（ ）个棱长2分米的正方体物体。
6、砌墙类问题
练习：（1）一块长1.2米,宽6分米,厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？
7、等体积变形问题
（1）把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？
8、液面上升或下降的问题
练习：
（1）一个长方体鱼缸，长80厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块长30厘米，宽24厘米，高16厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米?
（2）在一个长60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12厘米，宽18厘米，高15厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？
（4）在一个长60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12厘米，宽18厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降1厘米，求铁块的高。
（5）一个长方体鱼缸，长80厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块底面边长为20厘米，高为120厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？
1、容积与体积基本概念
体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。
当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积大于容积。
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）
2、体积计算方法：
长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽
体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。
体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。
体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。
（1）判断：
体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大． （ ）
正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（ ）
表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等． （ ）
长方体的体积就是长方体的容积． （ ）
（2）一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（ ）立方分米．
（3）一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（ ）厘米．
（4）表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米
（5）一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（ ）厘米铁丝，是求长方体（ ）；在表面贴上塑料板，共要（ ）塑料板，是求（ ）；在里面能盛多少升水是求（ ），这个盒子有（ ）立方厘米是求（ ）．
（6）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米．
（7）一个正方体棱长2厘米，体积是（ ）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（ ）立方厘米。
（8）一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（ ）是 6立方米．
（9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ ）．
①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等
（10）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）．
①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等． ③表面积相等，体积不相等．
1、要制作140个棱长5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？
2、某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？
3、长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
4、一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？
5、有一块面积为36平方分米的正方形铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？
6、用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（ ）立方分米。
3、体积大小的比较
对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。
对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。
例如：有一个长为8分米，高为5分米，体积为240立方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？
分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积<硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。
我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。
通过计算硬纸盒的长=8分米
宽=240÷（8×5）=6分米
高=5分米
陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米
高=4分米
我们可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。
练习：
1.有一个长方体玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？
2.有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为10分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装得进去？
4、棱长变化对体积的影响
（1）正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍
（2）长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。 5、一个棱长1米的大正方体能分成（ ）个棱长是1厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排（ ）米。
（3）一个表面积为36平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（ ）平方厘米。
（4）一个正方体棱长缩小2倍，表面积缩小（ ）倍，体积缩小（ ）倍。
5、切割组合对体积的影响
练习：
（1）一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？
（2）一个长方体，把它的高减少5厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了
200平方厘米，求原来的体积是多少？
（3）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了80平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
（4）一个棱长为1分米的正方体木块切割成棱长是1厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
（5）一个长方体木箱，从里面量长0.6米，宽0.4米，高0.2米，这个长方体木箱内能装（ ）个棱长2分米的正方体物体。
6、砌墙类问题
练习：（1）一块长1.2米,宽6分米,厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？
7、等体积变形问题
（1）把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？
8、液面上升或下降的问题
练习：
（1）一个长方体鱼缸，长80厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块长30厘米，宽24厘米，高16厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米?
（2）在一个长60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12厘米，宽18厘米，高15厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？
（4）在一个长60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12厘米，宽18厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降1厘米，求铁块的高。
（5）一个长方体鱼缸，长80厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块底面边长为20厘米，高为120厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？
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