Question

高等代数题，求特征值特征向量

设n阶方阵A的特征值为入1，……，入n.相应的特征向量为a1，...，an，求
B=(0 A/A 0)的特征值及相应的特征向量

Answer 1

A表达成入i和ai的组合后

B显然可以看出来新的两倍长度的新特征向量是【0，ai】或者【ai,0】，特征值仍然是入i。
也就是说：
B(0,ai)=入i(0,ai)
B(ai,0)=入i(ai,0)
因此，可以得到特征向量【0，ai】或者【ai,0】，对应特征值都是入i。

Answer 2

若a1+a2是A的属于特征值λ的特征向量
则 A(a1+a2)=λ(a1+a2)
∴ Aa1+Aa2=λ(a1+a2)
∴ λ1a1+λ2a2=λa1+λa2
∴ (λ1-λ)a1+(λ2-λ)a2=0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 λ1=λ2=λ, 与已知矛盾.
所以 a1+a2 不是A的特征向量.

同理, a1-a2 也不是A的特征向量.

因为 λ1=-λ2
所以 A^2(a1+a2)
= A^2a1 + A^2a2
= λ1^2a1+λ2^2a2
= λ1^2(a1+a2).
所以 a1+a2 是A^2的属于特征值 λ1^2 的特征向量.

同理可得 a1+a2 是A^2的属于特征值 λ1^2 的特征向量.
D当时λ1≠λ2时，a1与a2必不成比例。
对于任意一个n阶矩阵；
属于某一个特征值的特征向量都有无穷多个；
关键是n阶矩阵A不一定有n个线性无关的特征向量。
扩展资料
性质1 行列互换，行列式不变。
性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）