有界函数有极限吗?
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有界函数不一定有极限。
例如函数:当x为有理数时取0,当x为无理数时取1,为有界函数。但它在实数轴上的任意一点都没有极限(有理数序列趋近于该点时取极限0,无理数序列趋近于该点时取极限1)。
不是说有极限的函数,只有局部有界性,不能有定义域内全部有界。而是说,有极限的函数,能确保极限点附近的某个局部一定是有界的,但是无法确保定义域内有界。
举例
或者说,定义域内无界的函数,并不是在定义域内任何一点都没有极限。比方说f(x)=x²,这个函数在定义域内就是无界的,但是在任何一点都是有极限的。那么在任何一点的局部范围内,就都是有界的。
所以如果要求有极限就必须定义域内全部有界,那么其实就等于拒绝承认无界函数在定义域内的点,也可能有极限的情况。
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