Question

有界函数有极限吗？

Answer 1

有界函数不一定有极限。

例如函数：当x为有理数时取0，当x为无理数时取1，为有界函数。但它在实数轴上的任意一点都没有极限（有理数序列趋近于该点时取极限0，无理数序列趋近于该点时取极限1）。

不是说有极限的函数，只有局部有界性，不能有定义域内全部有界。而是说，有极限的函数，能确保极限点附近的某个局部一定是有界的，但是无法确保定义域内有界。

举例

或者说，定义域内无界的函数，并不是在定义域内任何一点都没有极限。比方说f（x）＝x²，这个函数在定义域内就是无界的，但是在任何一点都是有极限的。那么在任何一点的局部范围内，就都是有界的。

所以如果要求有极限就必须定义域内全部有界，那么其实就等于拒绝承认无界函数在定义域内的点，也可能有极限的情况。