已知集合S={x|x=m 2 +n 2 ，m，n∈Z}，求证：若a，b∈S，则ab∈S．
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若a，b∈S，则：存在整数m 1 ，n 1 ，m 2 ，n 2 ，满足
a=m 1 2 +n 1 2 ，b=m 2 2 +n 2 2 ，
则ab=（m 1 2 +n 1 2 ）（m 2 2 +n 2 2 ）
=m 1 2 •m 2 2 +n 1 2 •n 2 2 +m 1 2 •n 2 2 +n 1 2 •m 2 2
=（m 1 •m 2 ） 2 +（n 1 •n 2 ） 2 -2（m 1 •m 2 •n 1 •n 2 ） 2 +（m 1 •n 2 ） 2 +（n 1 •m 2 ） 2 +2（m 1 •m 2 •n 1 •n 2 ） 2
=（m 1 •m 2 -n 1 •n 2 ） 2 +（m 1 •n 2 +n 1 •m 2 ） 2 ，
因为（m 1 •m 2 -n 1 •n 2 ），（m 1 •n 2 +n 1 •m 2 ）为整数，
所以ab∈S
a=m 1 2 +n 1 2 ，b=m 2 2 +n 2 2 ，
则ab=（m 1 2 +n 1 2 ）（m 2 2 +n 2 2 ）
=m 1 2 •m 2 2 +n 1 2 •n 2 2 +m 1 2 •n 2 2 +n 1 2 •m 2 2
=（m 1 •m 2 ） 2 +（n 1 •n 2 ） 2 -2（m 1 •m 2 •n 1 •n 2 ） 2 +（m 1 •n 2 ） 2 +（n 1 •m 2 ） 2 +2（m 1 •m 2 •n 1 •n 2 ） 2
=（m 1 •m 2 -n 1 •n 2 ） 2 +（m 1 •n 2 +n 1 •m 2 ） 2 ，
因为（m 1 •m 2 -n 1 •n 2 ），（m 1 •n 2 +n 1 •m 2 ）为整数，
所以ab∈S
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