Question

行列式（一）- 行列式介绍

Answer 1

矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式非零。

考虑 。 的第二行和第三行都乘以 ，然后再分别减去第一行适当的倍数，则 行等价于下面两个矩阵：
～
由于 可逆，故矩阵中(2,2)元素和(3,2)元素不同时为0.不妨假设(2,2)元素不等于零（否则，可以做一个行对换边变成这种情形）。在进行行化简：
～
其中， 。
由于 可逆，故 一定不等于零。我们称这个(1)式中的 为 矩阵 的 行列式 。

矩阵 的行列式: 。 矩阵 的行列式: 。利用 行列式来重写(1)中的行列式 。

为了简单，可写成 ，其中 由 中删除第一行和三列中之一列而得到。

当 矩阵 的 行列式 是形如 的 个项的和，其中加号和减号交替出现，元素 来自于第一行，用符号表示为：

计算行列式 ，其中
解：

方阵的行列式的另一个常用记号是利用一对竖线代替括号。这样，上式可写为：

给定 , 的(i,j) 余因子 表示为： ，则 。这个公式称为按 的 第一行的余因子展开式 。
定理 1 矩阵的 的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算，按第 行展开的余因子展开式为： ；按第 列的余因子展开式为： 。(i,j)余因子中加号或减号取决于 在矩阵中的位置，而于 本身的符号无关。
定理 2 若 为三角形，则 等于 的主对角线上元素的乘积。