Question

用二项式定理证明2^n>n^2(n>=5)

Answer 1

证明：因为 n≥5,
所以 n-2 ≥3.
所以 由二项式定理,
2^(n-2)
=(1 +1)^(n-2)
=1 +(n-2) +(n-2) (n-3) /2 +...
>(n-1) +(n-2) (n-3) /2.
所以 2^n -n^2
=4 *2^(n-2) -n^2
>4(n-1) +2 (n-2)(n-3) -n^2
= n^2 -6n +8
= (n-3)^2 -1.
又因为 f(n) =(n-3)^2 -1 在 n>3 时,单调递增,
所以 当 n≥5 时,f(n) ≥ f(5) =3 >0.
即 2^n -n^2 >0,(n≥5),
即 2^n >n^2,(n≥5).