Question

泛函分析难吗

Answer 1

答案如下：

【共鸣定理】：设 X 是 B 空间，Y 是 B* 空间，如果 W 包含于 L(X, Y)，使得 sup[A∈W] || Ax || < ∞(对任意的 x ∈ X)，那么存在常数 M，使得 || A || <= M (对任意的 A∈W).
简单的说，就是算子族 W 点点有界，根据已知条件，推出算子族 W 一致有界.

【闭图像定理】：设 X, Y 是 B 空间. 若 T 是 X -> Y 的闭线性算子，并且 D(T) 是闭的，则 T 是连续的.
【Hahn - Banach 定理】：（注：不知道你要的【泛函延拓定理】是否是这个著名的定理）
设 X 是 B* 空间，X0 是 X 的子空间，f0 是定义在 X0 上的有界线性泛函，则在 X 上必有有界线性泛函 f 满足：

(1). f(x) = f0(x) (对任意 x ∈ X0 )； (延拓条件)
(2). || f || = || f0 ||(下表0). (保范条件)
|| f0 ||(下表0) 表示 f0 在 X0 上的范数.
【Lax-Milgram 定理】：（注：不知道你要的【逆算子定理】是否是这个著名的、应用很多的定理）
设 a(x,y) 是 Hilbert 空间 X 上的一个共轭双线性泛函，满足：
(1). 存在 M > 0，使得 |a(x,y)| <= M || x || || y || (对任意的 x, y ∈ X)；
(2). 存在 δ > 0，使得 |a(x,x)| >= δ || x ||^2 (对任意的 x ∈ X).
那么必存在唯一的有连续逆的线性算子 A ∈ L(X)，满足
a(x,y) = (x, Ay) (对任意的 x, y ∈ X)
|| A^(-1) || <= 1/δ.
（注：条件1称为有界性条件，条件2称为强制性条件. 定理非常强大的证明了，在希尔伯特空间中逆算子的存在性，在许多学科中有用，例如：《有限元分析》）
【实数Hahn - Banach 定理】：
设 X 是实线性空间，p 是定义在 X 上的次线性泛函，X0 是 X 的实线性子空间，f0 是定义在 X0 上的实线性泛函并且满足 f0(x) <= p(x) (对任意 x ∈ X0 ). 那么 X 上必有一个实线性泛函 f ，满足：
(1). f(x) <= p(x) (对任意 x ∈ X )； (受 p 控制条件)
(2). f(x0) = f0(x0) (对任意 x ∈ X0 ). (延拓条件)