Question

已知函数y=f(x+3),在R上为奇函数,求函数y=f(x)的对称中心,要解析

Answer 1

解
由题设可知,对任意实数x,恒有：
f(x+3)+f(-x+3)=0
令x+3=k,则-x+3=-k+6
∴上面式子可化为：
f(k)+f(-k+6)=0
或者说,恒有：f(x)+f(-x+6)=0.
可设P(a,b)是曲线y=f(x)上的任意一点,则b=f(a).
结合上面式子,可知：f(a)+f(-a+6)=0
或者说：b+f(-a+6)=0
∴ f(-a+6)=-b
这就表明,点Q(-a+6,-b)也是曲线y=f(x)上的点,
盘点一下,可知：若P(a,b)是曲线y=f(x)上的任意一点,
则Q(-a+6,-b)也是该曲线上的一点,
而这两个点P,Q关于点M(3,0)对称,
∴曲线y=f(x)的对称中心为点(3,0)