Question

设f（x）=[ax/x+a]（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又bn=an•an+1，n∈N*？

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得： a n+1 ＝ a• a n a n +a ．将其变形可得[1 a n+1 − 1 a n ＝ 1/a]，由等差数列的定义进而得到答案．
（2）由（1）可得[1 a n ＝1+(n−1) 1/a]， a n ＝ a n+a−1 ．
（3）设Sn是数列{bn}的前n项和．由（1）可得bn=an•an+1=a（an-an+1），利用分组求和的方法求出答案即可．
（1）由an+1=f（an）可得：an+1＝
a•an
an+a．
将其变形可得an•an+1=a（an-an+1），即
1
an+1−
1
an＝
1/a]，
所以数列{[1
an}是首项为1，公差为
1/a]的等差数列．
（2）由（1）可得[1
an＝1+(n−1)
1/a]，
所以[1
an＝
n−1+a/a]，即an＝
a
n+a−1．
所以数列{an}的通项公式为an＝
a
n+a−1．
（3）设Sn是数列{bn}的前n项和．
由（1）可得bn=an•an+1=a（an-an+1），
所以Sn＝a(a1−an+1)＝
na
n+a．
所以数列{bn}的前n项和为[na/n+a]．

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；等差数列的前n项和．

考点点评： 解决此类问题的关键是数列掌握等差数列的通项与前n项和的公式，以及其他数列求和的方法如分组求和、错位相减、倒序相加、裂项相消等方法．

1年前
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（1）判断数列{[1 a n