Question

请问级数收敛的判别有哪几种？

Answer 1

1、对于所有级数都适用的根本方法是：柯西收敛准则。因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。

局限性：有一些数列的特征太过明显，可以用更加简洁的判别法去判别，用柯西收敛原理是浪费时间；另一方面，如果级数本身过于复杂，用柯西收敛准则也未必能很快得到证明。

2、对于正项级数，一个基本但不常用的方法是部分和有界，这同样是级数收敛的充分必要条件，这是正项级数中最强的判别法之一，局限性也是显然的：通常来说一个级数的和函数并不好求，用这种方法行不通，因此这个方法通常只有理论上的意义。

3、对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。

局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么很难判断，通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。

4、对于正项级数，有积分判别法：如果x>=1且f（x）〉=0且递减，则无穷级数（通项为f（n））与1到正无穷对f（x）作的积分同敛散。这个办法对于某些级数特别有效。局限性：由于其本质是将级数化成了反常积分，如果化成的反常积分的收敛性难以判断，则有可能该方法就把问题复杂化了。

5、对于正项级数，还有拉贝判别法与高斯判别法。拉贝判别法是将级数与通项为1/（n^alpha）的级数做比较，如果当n充分大时，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么级数收敛。

高斯判别法将级数与通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数做比较，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，则级数收敛。

局限性：这两个判别法已经很强了，大部分级数都可以用这两个判别法去估计，但是仍然不是全部级数都有效的，如果级数比通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数收敛得还慢，就无效了，这时应该去想比较判别法或者其他办法，可能需要比较强的技巧。

6、对于交错级数，有莱布尼兹判别法：如果级数符号交替且通项绝对值递减，则级数收敛。局限性：如果级数不满足上述条件，显然就失效了。

7、一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法：

阿贝尔判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调有界，以另一部分为通项的级数收敛，那么原级数收敛。

狄利克雷判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调趋于零，以另一部分为通项的级数的部分和有界，那么原级数收敛。

这两个判别法对于一些通项为两项以上乘积形式的级数非常有效。局限性：如果拆不出来，那就没办法了。不过通常的题最多就考到这里，基本上应该可以判别。