Question

高等数学利用极坐标计算二重积分：∫∫ln（1+x^2+y^2）dσ，其中D是由圆周x^2+y^2＝1

Answer 1

∫(0到π/2)dθ∫(0到1)ln(1+r^2)rdr

算不定积分∫rln(1+r^2)dr

=∫1/2ln(1+r^2)d(1+r^2)

=1/2∫ln(1+r^2)d(1+r^2)

∫lnxdx=xlnx-x+C

所以1/2∫ln(1+r^2)d(1+r^2)

=1/2[(1+r^2)ln(1+r^2)-(1+r^2)]+C

则∫(0到π/2)dθ∫(0到1)ln(1+r^2)rdr

=π/2∫(0到1)ln(1+r^2)rdr

=π/2[1/2((1+r^2)ln(1+r^2)-(1+r^2))]|(0到1)

=π/4(2ln2-2-(-1))

=(2ln2-1)π/4

扩展资料

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。