Question

直线x+y-4=0与圆x²+y²+2x-1=0.判断直线与圆的位置关系？

Answer 1

圆的标准方程为：

可以通过移项得到 ：

圆心坐标为 (−1,0)，半径为√2。

直线x+y-4=0的一般式方程为x+y-4=0，可以通过移项得到y=-x+4。

因此，该直线的斜率为-1，截距为4。

判断直线与圆的位置关系，可以分以下两种情况：

1.直线与圆相离。当直线与圆没有交点时，它们相离。由于圆心坐标为 (−1,0)，直线的斜率为 −1，因此可以发现，当直线过圆心时，它们相离。此时，直线到圆心的距离为：

而圆的半径为√2，因此d＞√2，直线与圆相离。

2.直线与圆相交。当直线与圆有交点时，它们相交。此时，可以通过求解方程组 x+y-4=0和x²+y²+2x-1=0来得到交点坐标。将直线方程中的 y 用 x 表示，代入圆的方程中，整理得到：

化简后得到2x²-6x+14=0,解得x=1±√3。将x带入直线方程中，得到对应的y坐标分别为3±√3。因此，直线圆的交点坐标为（1+√3，3-√3）和（1-√3，3+√3）。

所以以上所诉，直线与圆相交。

Answer 2

答案是：直线x+y-4=0与圆x²+y²+2x-1=0相交于两个点。
要判断直线和圆的位置关系，我们可以观察圆心与直线的位置关系以及直线的斜率和圆的半径之间的关系。
首先，我们需要将直线方程和圆方程进行整理。直线方程x+y-4=0可以变形为y=-x+4，圆方程x²+y²+2x-1=0可以变形为(x+1)²+y²=2。
观察圆心(-1, 0)和直线y=-x+4的位置关系，我们可以知道圆心在直线上方。而且，直线的斜率为-1，表示它是向下倾斜的。
接下来，我们需要考虑直线和圆的半径之间的关系。由圆的方程可知，半径的平方为2，所以半径r=sqrt(2)≈1.414。
综上所述，我们可以得出以下结论：
1. 直线和圆相交于两个点，因为圆心在直线上方，且圆的半径大于与直线的距离。这两个交点分别位于直线y=-x+4上方延长线上，距离圆心最近的点接近于(-0.707, 4.707)，距离圆心最远的点接近于(-3.293, 7.293)。
2. 由于直线的斜率为-1，圆的半径为1.414，所以直线与圆相切的情况是不发生的。
综上所述，直线x+y-4=0与圆x²+y²+2x-1=0相交于两个点。
希望能帮助到您

Answer 3

分析：直线与圆通常有三种位置关系：相交（2个交点）、相切（1个交点）、相离（没有交点）。
要判断直线与圆到底是哪种位置关系，需要将直线方程代入圆的方程中，消去y，得到关于x的一元二次方程，计算判别式△，（1）当△＞0时，x有两个实数解，此时直线与圆相交。（2）当△=0时，x有一个实数解，此时直线与圆相切。（3）当△＜0时，x没有实数解，此时直线与圆相离。
解：将直线方程y=4-x代入圆的方程中，消去y。
x^2+(4-x)^2+2x-1=0
将上述方程左边用完全平方公式展开，合并同类项后，得到如下方程：
2x^2-6x+15=0
△=(-6)^2-4×2×15=-84
这里△＜0，所以直线与圆是相离的关系。

Answer 4

直线方程:x+y-4=0
圆方程:x2+y2+2x-1=0首先,对直线方程进行变换,可以得到直线的一般方程:
y = -x + 4然后,计算圆心坐标:
x2+y2+2x-1=0
将上式对x求导,得:2x+2=0
即x = -1
将x=-1代入圆方程,得:
y2+(x+1)2 - 1 = 0
y2 + 1 - 1 = 0
y2 = 0
y = 0所以,圆心坐标为(-1, 0)根据直线方程可知,直线过原点(0, 0),所以直线与圆心的连线斜率为负无穷大。
而任意过圆外一点的直线与连续圆的切线斜率相同。所以,直线x+y-4=0与圆x2+y2+2x-1=0的位置关系为:直线与圆外切。因此,直线x+y-4=0与圆x2+y2+2x-1=0的位置关系是外切关系。总结一下,判断两曲线的位置关系,方法是:
1) 对方程进行变换,得到标准形式;
2) 计算各自的圆心坐标或过原点直线斜率;
3) 比较两者的斜率大小,进而判断位置关系。希望以上详细的推导过程能帮助您理解直线与圆的位置关系判断。如有任何疑问,欢迎提出。

Answer 5

首先将直线x+y-4=0化为一般式：y=-x+4。然后，将y=-x+4代入圆的方程，得到x²+(4-x)²+2x-1=0，化简可得2x² - 6x + 15 = 0，利用二次方程求解，得到x的值：
x = (6 ± √36 - 4 × 2 × 15) / (4 × 2) = 3 ± (2i/2)
其中，36 - 4 × 2 × 15 = -96 < 0，因此解为共轭复数，即x的解为实部为3，虚部为±i的两个解。将x的解代入圆的方程，可以得到相应的y解：
当x=3时，y²-6y+8=0，解得y=2或y=4。
综上所述，直线与圆的位置关系如下：
1. 直线与圆有两个交点，当交点(x,y)=(3,2)和(3,4)时，直线与圆相交。
2. 直线与圆没有交点，当直线与圆的距离（即直线到圆心的距离）大于圆的半径时，直线与圆相离。
3. 直线与圆有一个交点，当直线与圆的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。
因此，具体情况需要根据直线与圆的交点、距离等来具体判断。