Question

凑微分法求不定积分是用新的还是旧的

Answer 1

用新的。

不定积分（一）
第一类换元法也被称作“凑微分法”，顾名思义，凑出某种形式的微分。

我们首先来想一下这个方法是怎么来的。

假设现在我们要对一个复合函数  求不定积分，但我只有  这一积分公式。这时候就要想，要是中括号里不是  而是  该多好啊。

如果我直接令  ，强行让原式变为  的话，就可以用积分公式了。

但仔细一想，不对啊，把上面的那个式子展开，可得  ，这和原式不等价啊。

不过再仔细一想，如果把这个过程逆回去，不就是上面  这种函数的换元方法了吗。

从这个过程中我们也可以清晰的看出，这种换元方法为什么叫做“凑微分法”了。顾名思义，拼凑微分符号后面的积分变量，使复合函数中的内层函数可以被替换为一个新的变量。

这种换元法的使用条件也很容易看出：被积表达式中一个因子是某个复合函数的内层函数的导函数。

值得注意的是，在把因子“凑”到微分符号后面的时候，可以进行适当变形，以使换元后的表达式容易进行积分，但要注意等价变形。
下面给出一些例题来进行具体说明。

例1：求  .

解：观察发现，这显然是一个复合函数，其内层函数为  。那么我们可以考虑使用第一类换元法进行求解。

但容易发现，这个被积表达式并不符合条件。那我们不妨进行一下变形。

现在有了一个复合函数，只需要在后面乘上内层函数的导函数即可，即  .但是为了等价，我们要给整体除以2，得到  .

这下子我们可以用凑微分法了，把前面乘的2拿到微分符号后面，得到  ，但是为了方便积分，我们用它的等价形式  .

这样原式就变成了  .不妨令  ，则原式变为  .

容易求得，结果为  .

但是还没结束，我们要把变量换回去，即  .

即  .

【结论1】当内层函数为线性函数[  ]时，原式可以按照下面的方法进行变形：

 (  ).
例2：求  .

解：容易发现，这个积分中的被积表达式由两个因子相乘的到，其中第二个因子为复合函数  。

既然存在复合函数，那我们就考虑换元。再仔细观察一下，内层函数的导函数  ，恰好是第一个因子，这样刚刚好复合第一类凑微分法的条件。

把  移到微分符号后面，即 

那么，原式就变成了  ，令  ，得原式=  .

把  换回去就可以得到这道题的答案了，  .

【结论】当被积表达式的一个因子是复合函数，另一个因子刚好是复合函数的内层函数的导数时，可以按照如下方法进行变形：


例3：求  .

解：这个被积表达式第一眼看过去好像是  的导函数  .但可以注意到，分母上的“1”被替换为了  .这时候可以进行一些变形，把  的位置变为“1”。

可以考虑对被积表达式根号下的部分提公因式  并开方，得  ，那么原式就可以写成  ，显然，这里的  就是新的积分变量。因为  ，所以为了使其等价于  ，把它凑成  .

令  ，得  .

所以，结果就是  .

同理，求  时也可以类比这种做法，将其改写为  ，然后换元、凑微分。

【结论】当被积表达式中出现类似已知的积分公式的式子时，考虑先提公因式、开方等，然后再凑微分凑出积分公式。

例4：求  .

解：我们可以利用三角恒等式进行一些变形。

易知，  ，那么可以把  替换为  ，那么被积表达式就变成了  ，左侧是一个复合函数，内层函数是  ，右侧剩下了一个  没有被替换。

不过这样刚好，剩下的这一个  刚好是左侧复合函数的内层函数的导数，这样我们就又可以凑微分了：



这样很容易就可以得出结果  .

【结论】当被积表达式出现  或  时，可以利用  把奇数次式子中的三角函数化为和偶数次式子同名的三角函数，同时剩下一个不同名的三角函数，然后利用剩下的一个不同名三角函数来凑微分。

对于由 和  构成的形式相似的式子，也可以用这种方法凑微分。

例5*：求  .

解：已知降幂公式  。

用它对式子进行变形，得到：



展开，得



对被积表达式进行分组，得到



左边的式子可以再用一次降幂公式，然后直接求积分；右侧的式子则可以先用一次三角恒等式，然后再凑微分，得



解得，原式=  。

【结论】当被积表达式为两个偶次三角函数相乘时，利用降幂公式将其化为同名三角函数的多项式，然后凑微分求解。其中可能会对被积表达式进行分组。

另外，当两个同名三角函数相乘时，通常考虑利用积化和差公式进行变形。

第二类换元法：

奔跑的小蜗牛RLS：【高数笔记】不定积分（二）：三角换元（第二类换元法）