Question

高中数学基本不等式，及不等式方程的题目

【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2, c^2+d^2=n^2, m≠n, ac+bd≤p. 求p的最小值
【2】a,b,c为某一三角形的三条边，c为斜角边，点（m,n)在直线ax+by+2c=0上，m^2+n^2的最小值
【3】已知a>0,b>0,且a+b=1，则ab+1/ab的最小值
【4】设f(x)=(1/a)x^2-bx+c,(a>0),满足f(1+x)=f(1-x),求a^2+b^2-2(a+b)的最小值
【5】|x的平方-2|x|-2|≥1
以上1到4题用基本不等式解决，均请给出具体解题过程

Answer 1

【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2, c^2+d^2=n^2, m≠n, ac+bd≤p. 求p的最小值
解：要使p为最小值，且ac+bd≤p，则只需ac+bd的最大值即可
而2ac≤a^2+b^2,2bd≤c^2+d^2
故2ac+2bd≤（a^2+b^2）+（c^2+d^2）
即ac+bd≤（m^2+n^2）/2
故p为最小值为（m^2+n^2）/2，此时a=b,c=d.

【2】a,b,c为某一三角形的三条边，c为斜角边，点（m,n)在直线ax+by+2c=0上，m^2+n^2的最小值
问：“c为斜角边”是什么意思？是说三角形是直角三角形？b^2+a^2=c^2
解：易知am+bn+2c=0,a＞0,b＞0,c＞0
故m=(-bn-2c)/a
于是 m^2+n^2=[(-bn-2c)/a]^2+n^2=[(b^2+a^2)/a^2]×n^2+(4bc/a^2)×n+4c^2/a^2=(1/a^2)[c^2×n^2+4bc×n+4c^2]
故当n=-4bc/(2c^2)=-2b/c时，m^2+n^2有最小值,此时m^2+n^2=（1/a^2)[c^2×（-2b/c）^2+4bc×（-2b/c）+4c^2]=（1/a^2)[4b^2-8b^2+4c^2]=4
注:“Cauchy门徒”的解答：(m^2+n^2)(a^2+b^2)>=(am+bn)^2=4c^2(a^2+b^2=c^2) So m^2+n^2>=4。很好！

【3】已知a>0,b>0,且a+b=1，则ab+1/ab的最小值
分析：a>0,b>0则ab＞0，1/ab＞0
从而ab+1/ab≥2sqrt[ab×(1/ab))=2sqrt(2) {注：sqrt是根号的意思}
当且仅当ab=1/ab，即ab=1，使上面等号成立，又a+b=1，此时a，b无解，故此时取不到等号，即2sqrt(2)不是最小值。需换方法。
解：不妨令x=ab,则考察函数f(x)=x+1/x,
a+b=1，则ab≤[（a+b）/2]^2=1/4，即x≤1/4
由勾函数图象知，f(x)在（0，1）上单调减，
从而x=1/4时，f(x)取最小值，为17/4
故ab+1/ab的最小值17/4，此时a=b=1/2

【4】设f(x)=(1/a)x^2-bx+c,(a>0),满足f(1+x)=f(1-x),求a^2+b^2-2(a+b)的最小值
解：由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的对称轴是1，即ab/2=1，ab=2
又a>0,则 b>0
a^2+b^2-2(a+b)=(a+b-1)^2-1-2ab=(a+b-1)^2-5
又a+b≥2sqrt(ab)=2sqrt(2)
故a^2+b^2-2(a+b)的最小值为[2sqrt(2)-1]^2-5=4-4sqrt(2)

【5】|x^2-2|x|-2|≥1
解：原不等式等价为||x|^2-2|x|-2|≥1
从而|x|^2-2|x|-2≥1或|x|^2-2|x|-2≤-1
即|x|^2-2|x|-3≥0①或|x|^2-2|x|-1≤0②
①的解|x|≥3，|x|≤-1，故x≥3或x≤-3
②的解：略（有些累了）
（仅供参考）

Answer 2

1: ac+bd<=sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))=mn p>=mn
2:(m^2+n^2)(a^2+b^2)>=(am+bn)^2=4c^2(a^2+b^2=c^2) So m^2+n^2>=4
3:ab<=1/4 双钩函数ab+1/ab在(0,1]递减ab+1/ab>=1/4+4=17/4
4:由f(1+x)=f(1-x),得到f(x)的对称轴是1即：ab=2
a^2+b^2-2(a+b)=(a+b)^2-2(a+b)-4=(a+b-1)^2-5因为a+b>=2sqrt(ab)=2sqrt2
得到a^2+b^2-2(a+b)>=(2sqrt2-1)^2-5=4-4sqrt2

Answer 3

1.a^2+b^2=m^2, c^2+d^2=n^2
两式相乘：a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=m^2n^2
(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=m^2n^2
(ac+bd)^2=m^2n^2 -(ad-bc)^2
a,b,c,d,m,n>0
∴ ac+bd=√[m^2n^2 -(ad-bc)^2]
ac+bc在mn=|ad-bc|时有最小值0
即p最小值为0

2. 点（m,n)在直线ax+by+2c=0上，am+bn+c=0
m=-(bn+c)/a
m^2+n^2=(4c^2+4bcn+b^2n^2+a^2n^2)/a^2
f(n)=(1/a^2)[(a^2+b^2)n^2+4bcn+4c^2]
f(n)为开口向上的抛物线，最小值为顶点纵坐标：4c^2/(a^2+b^2)