Question

投影向量的公式是什么？不是投影噢是投影向量

Answer 1

公式：Proj(Y)=Xβ=X [ (X'X)^(-1) ] X' Y。

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首先明确一下，把向量Y投影到目标区域V上，比如将三维空间中的向量投影到一条直线上时，总可以假设这条直线是经过原点的：这是由于向量可以平移，把向量的起始点移动到那条直线上、建立新的坐标系，就行了。这个时候，这条直线实际上构成一个一维的线性空间。一般地，目标空间V总可以假设是线性空间（即“经过原点”、线性）。

写一个相对一般的问题提法：

设待投影的向量为Y，是n维向量；在n维空间中，将Y投影到R^n的线性子空间V=μ(X)上，结果记为Proj(Y)。这里X是个n行p列的矩阵，每一列线性无关、表示那个要将Y投影进去的空间V（p维空间）的一组基，于是这个空间V也就是X的列空间μ(X)。于是p×p维矩阵X'X是满秩的、可逆（这里X'表示X的转置）。

比如三维空间内，将一个向量投影到一条过原点的直线上，就是n=3，p=1，X是直线的一个方向向量；如果是投影到一个过原点的平面上，那就是n=3，p=2，X的两个列分别是平面内两个线性无关向量的坐标。

投影的结果已经写在最前面了，推导方式简单说明如下：

所谓投影，简单说，就是在V内找到一个向量（记为Z，它其实就是Proj(Y)），使得Y-Z与空间V垂直，即X'(Y-Z)=0（说明：Y-Z与X的每一个列（V的一组基）垂直，于是与V的所有向量垂直）。V的一组基的列阵是X，而Z在V内，故总存在唯一与Z对应的系数β（p维向量），使得Z=Xβ。实际上就是要求解这个β。

由X'(Y-Z)=0，得X'(Y-Xβ)=0，即X'Xβ=X'Y。这里X'X可逆，于是解出β=[ (X'X)^(-1) ] X' Y，从而Proj(Y)=Xβ可解。

Answer 2

向量a在向量b上的投影向量为丨a|cos<a，b>。