已知a,b均为正数,且ab-a-b=0,求ab的最小值
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解：∵a，b∈R^＋
∴a＋b≥2√（ab）
∵ab-a-b＝0
∴ab＝a＋b
∴ab≥2√（ab）
设√（ab）＝t，t≥0，则ab＝t^2，
t^2≥2t，t^2-2t≥0，t≥2
∴t^2≥4
∴ab的最小值是4。
∴a＋b≥2√（ab）
∵ab-a-b＝0
∴ab＝a＋b
∴ab≥2√（ab）
设√（ab）＝t，t≥0，则ab＝t^2，
t^2≥2t，t^2-2t≥0，t≥2
∴t^2≥4
∴ab的最小值是4。
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f(a，b)=ab+λ(ab-a-b)
fa=b+λ(b-1)=0
①fb=a+λ(a-1)=0②
ab-a-b=0③
a=b=2
ab=4
fa=b+λ(b-1)=0
①fb=a+λ(a-1)=0②
ab-a-b=0③
a=b=2
ab=4
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使用基本不等式更便捷。
详情如图所示:
供参考，请笑纳。
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