Question

正交变换几何意义

Answer 1

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。

因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合。

扩展资料：

正交变换的性质

1、正交变换T不会改变向量间的正交性，如果U和V正交，则T(u)和T（v）亦为正交。如果A和B皆为正交矩阵，则AB亦为正交矩阵。

2、如果A为正交矩阵，A的反矩阵A-1亦为正交矩阵。正交变换容易做反运算。对于正交变换T，如果U和V可以做内积，T(u)和T（v）做内积之值等于u和v做内积之值。

参考资料来源：百度百科-正交变换