Question

数学圆锥曲线的总结有哪些？

Answer 1

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：
1）椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：
1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
参数方程：
X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)
2）双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
参数方程：
x=asecθy=btanθ(θ为参数)
3）抛物线
标准方程：
1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px其中p>0
2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px其中p>0
3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py其中p>0
4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py其中p>0
参数方程
x=2pt^2y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0
直角坐标
y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0）x=ay^2+by+c（开口方向为x轴,a<>0)
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
二、焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：
椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex
双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex|PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|=－a-ey|PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey
抛物线|PF|=x+p/2
三、圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程
以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;
双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；
抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c
抛物线的准焦距:p
五、通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
椭圆的通径:(2b^2)/a
双曲线的通径:(2b^2)/a
抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
见下图：
七、圆锥曲线的中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程
⒈联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2.点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）