Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连结BD 1，由已知得EF∥D 1B，由此能证明EF∥面ABC 1D 1．
（Ⅱ）由已知得CF⊥BD，DD 1⊥面ABCD，DD 1⊥CF，从而CF⊥平面EFB 1，即CF为高，由 V B 1 −EFC ＝ V C− B 1 EF ，利用等积法能求出三棱锥V C− B 1 FE 的体积．
（Ⅲ）由已知得二面角E-CF-B 1的平面角为∠EFB 1，由此能求出二面角E-CF-B 1的大小．
（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，
∵EF为中位线，∴EF∥D1B，
而D1B⊂面ABC1D1，EF不包含于面ABC1D1，
∴EF∥面ABC1D1．
（Ⅱ）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点
∴CF⊥BD，①
∵正方体ABCD-A1B1C1D1，
∴DD1⊥面ABCD，CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF，②
综合①②，且DD1∩BD=D，DD1，BD⊂面BDD1B1，
∴CF⊥平面EFB1，即CF为高，CF=BF=
2，
∵EF=[1/2BD1=
3]，B1F=
BF2+BB12=
2+4＝
6，
B1E＝
B1D12+D1E2=
,9,如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E、F分别为DD 1、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC 1D 1；
（Ⅱ）求三棱锥V C− B 1 FE 的体积；
（Ⅲ）求二面角E-CF-B 1的大小．