Question

已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足Sn=1-nan（n=1,2,3...) 求{an}的通项公式

Answer 1

由题得：
Sn=1-nan
于是有：
S(n-1)=1-(n-1)a(n-1)
两式相减得：
an=(n-1)a(n-1) - nan
移项后有：
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
于是：
an=[(n-1)/(n+1)]a(n-1)
由前面可得：
an=[(n-1)/(n+1)]a(n-1)
a(n-1)=[(n-2)/(n)]a(n-2)
a(n-2)=[(n-3)/(n-1)]a(n-3)
…… …… ……
a4=[(3)/(5)]a3
a3=[(2)/(4)]a2
a2=[(1)/(3)]a1
连乘得到：
a2.a3.a4.an=[(1)/(3)]x[(2)/(4)]x[(3)/(5)]x……x[(n-1)/(n+1)]x[a1.a2.a3.a(n-1)]
=(1x2)[a1.a2.a3.a(n-1)]/[n(n+1)]
=2[a1.a2.a3.a(n-1)]/[n(n+1)]
约分后得：
an=2a1/[n(n+1)]
又因为:a1=1/2
代入得：
an=2a1/[n(n+1)]
=1/[n(n+1)]