Question

等价无穷小只有在x趋于0时才可以用么？如果不是，使用条件是什么呢？

Answer 1

解答如下：\r\n等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的等价无穷小\r\n确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，\r\n函数\r\n值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(1/x)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。\r\n例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。\r\n这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：\r\n假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小，\r\n如果limb/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）\r\n如果limb/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。\r\n比如b=1/x^2，a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比ab都要高阶，因为c更快地趋于0了。\r\n如果limb/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。\r\n下面来介绍等价无穷小：\r\n从无穷小的比较里可以知道，如果limb/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小，b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即limb/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b\r\n等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lima～a'、b～b'则：lima/b=lima'/b'\r\n接着我们要求这个极限lim(x→0)sin(x)/(x+3)\r\n根据上述定理当x→0时sin(x)～x(重要极限一)x+3～x+3，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0)x/(x+3)=0