Question

请问：‘函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界’怎么证明，谢谢！

Answer 1

必要性：

已知f(x)在X上有界，则存在M>0，使得任意x∈X，有|f(x)|<M

因此-M<f(x)<M，则f(x)既有上界又有下界。

充分性：

已知f(x)在X上既有上界又有下界，则存在a,b，且b>a，使得f(x)<b，且f(x)>a

（1）若|b|>|a|，则b>0，且-b<a成立，

因此-b<a<f(x)<b，得|f(x)|<b，因此f(x)有界。

（2）若|a|>|b|，则a<0，因此-a>0，得-a>b，

因此a<f(x)<b<-a，得|f(x)|<-a，得f(x)有界。

扩展资料

如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。