Question

∫xsin^3xdx上限π下限0求定积分

Answer 1

定积分值=-π/3+π=2π/3。

解题过程如下：

∫x*(sinx)^3dx

=-∫x*(sinx)^2d(cosx)

=∫x*(cosx)^2-xd(cosx)

而显然

∫x*(cosx)^2d(cosx)

=1/3*∫xd(cosx)^3

=x/3*(cosx)^3-∫1/3*(cosx)^3dx

=x/3*(cosx)^3-∫1/3*(cosx)^2d(sinx)

=x/3*(cosx)^3-∫1/3-(sinx)^2/3d(sinx)

=x/3*(cosx)^3-1/3*sinx+1/9*(sinx)^3

∫-xd(cosx)

=-x*cosx+∫cosxdx

=-x*cosx+sinx

二者相加得到

∫x*(sinx)^3dx

=x/3*(cosx)^3+2/3*sinx+1/9*(sinx)^3-x*cosx

代入上下限π和0，

定积分值=-π/3+π=2π/3

扩展资料

“定积分”的简单性质有：

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。

性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。

性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。

性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。

性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a) (a<b)。