Question

反函数存在定理的证明

Answer 1

反函数存在性定理：

若函数y=f(x)，x∈Dfy=f(x)，x∈Df是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数。 

x=f1(y)：Rf→Xx=f1(y)：Rf→X，并且f1(y)f1(y)也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设y=f(x)，x∈Dfy=f(x)，x∈Df严格单调增加，可知∀x1，x2∈Df，x1<x2⇒f(x1）<f(x2)∀x1，x2∈Df，x1<x2⇒f(x1)<f(x2)，所以∀x1，x2∈Df，f(x1)=f(x2)⇒x1=x2∀x1，x2∈Df，f(x1)=f(x2)⇒x1=x2，所以存在反函数f−1(y)，y∈Rff−1(y)，y∈Rf。 

∀y1，y2∈Df−1=Rf，∀y1，y2∈Df−1=Rf，设x1=f−1(y1)，x1=f−1(y1)，x2=f−1(y2)，x2=f−1(y2)，则y1=y2⇒x1=x2，y1=y2⇒x1=x2，否则 

（1）x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2，x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2，

（2）x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2，

因此f−1(y)f−1(y)也是严格单调增加（减少）的。

扩展资料：

反函数的性质介绍：

1、原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。

2、若y=f⁻¹（x）是函数y=f（x）的反函数，则有f（a）=b；f⁻¹（b）=a。

从整个函数图像来考虑，是指y=f（x）与其反函数y=f⁻¹（x）的图像关于直线y=x对称；从图像上的点来说，是指若原函数过点（a，b），则其反函数必过点（b，a）。

3、单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。