Question

设正项级数An发散,讨论An/(1+n^2*An)级数敛散性和An/(1+An^2)级数敛散性

Answer 1

第一题:由于An为正项级数,所以An/[1＋(n^2)An]＜An/[(n^2)An],即An/[1＋(n^2)An]＜1/(n^2),级数1/(n^2)收敛,所以An1[1＋(n^2)An]也收敛.第二题:An1[1＋(An)^2]发散例:当An=1/n时,An/[1＋(An)^2]=n/(1＋n^2)≥n/(n^2＋n^2),即An/[1＋(An)^2]≥1/(2n),级数1/(2n)发散,所以An/[1＋(An)^2]也发散；收敛例:当An=n^2时,An/[1＋(An)^2]=(n^2)/[1＋(n^2)^2]＜(n^2)/(n^2)^2,即An/[1＋(An)^2]＜1/(n^2),级数1/(n^2)收敛,所以An1[1＋(An)^2]收敛；所以当正项级数An发散时,级数An/[1＋(An)^2]可能收敛,也可能发散.