设正项级数An发散,讨论An/(1+n^2*An)级数敛散性和An/(1+An^2)级数敛散性

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世纪网络17
2022-10-06 · TA获得超过5948个赞
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第一题:由于An为正项级数,所以An/[1+(n^2)An]<An/[(n^2)An],即An/[1+(n^2)An]<1/(n^2),级数1/(n^2)收敛,所以An1[1+(n^2)An]也收敛.第二题:An1[1+(An)^2]发散例:当An=1/n时,An/[1+(An)^2]=n/(1+n^2)≥n/(n^2+n^2),即An/[1+(An)^2]≥1/(2n),级数1/(2n)发散,所以An/[1+(An)^2]也发散;收敛例:当An=n^2时,An/[1+(An)^2]=(n^2)/[1+(n^2)^2]<(n^2)/(n^2)^2,即An/[1+(An)^2]<1/(n^2),级数1/(n^2)收敛,所以An1[1+(An)^2]收敛;所以当正项级数An发散时,级数An/[1+(An)^2]可能收敛,也可能发散.
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