Question

求向量组α1=（1,2,-1,-2）,α2=（2,5,-3,-3）,α3=（-1,-1,1,2）

求向量组α1=（1,2,-1,-2）,α2=（2,5,-3,-3）,α3=（-1,-1,1,2）,α4=（6,17,-9,-9）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用用所求的极大线性无关组表出

Answer 1

首先，将给定向量组按照列排成一个矩阵：

A = [1 2 -1 6 2 5 -1 17 -1 -3 1 -9 -2 -3 2 -9]
对矩阵 A 进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，得到：

U = [2 5 -1 17 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0]
因此，矩阵 A 的秩为 2，即向量组 a1、a2、a3、a4 的秩也为 2。接下来，找出矩阵 A 的一个极大线性无关组。

由于 U 的第一列和第二列都不为 0，所以向量组 a1 和 a2 是线性无关的。再看第二列和第三列，它们的线性组合可以得到第一列，因此可以将向量 a3 去掉，仍然可以保持矩阵 A 的秩不变。因此，{a1, a2} 是矩阵 A 的一个极大线性无关组。
接下来，将 a3 和 a4 用 {a1, a2} 的线性组合表示出来。设：
a3 = k1 * a1 + k2 * a2

a4 = m1 * a1 + m2 * a2
将 a3 和 a4 的坐标代入上式中，解得：

k1 = 1, k2 = 1, m1 = -4, m2 = -3
因此，向量组 {a1, a2} 和向量组 {a1, a2, a3} 等价，且它们是矩阵 A 的极大线性无关组。用 {a1, a2} 表示 a3 和 a4 可得:
a3 = a1 + a2

a4 = -4a1 - 3a2

Answer 2

首先，将这四个向量排列成一个 $4\times 4$ 的矩阵 $A$：

A=⎝⎛12−1−225−3−3−1−112617−9−9⎠⎞
为了求出向量组的秩，我们可以对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将它化为行最简形式。具体步骤如下：
⎝⎛12−1−225−3−3−1−112617−9−9⎠⎞→⎝⎛10−1021−31−111465−93⎠⎞→⎝⎛100021−11−110465−33⎠⎞→⎝⎛10002100−1115652−2⎠⎞→⎝⎛10002100001010−32−17⎠⎞
经过初等行变换，我们得到了行最简矩阵，其中第四行全为 0，说明向量组的秩为 3。另外，由于前三行的主元个数为 3，所以向量组的一个极大线性无关组有 3 个向量。这 3 个向量可以是矩阵 $A$ 的前三个行向量组成的向量组：
α1=(1,2,−1,6),α2=(0,1,1,5),α3=(0,0,1,2).
要将第四个向量 $\alpha_4$ 用这个极大线性无关组表出，我们可以解方程组：
⎝⎛12−1601150012⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛617−9−9⎠⎞
解得 $x_1=10$, $x_2=-3$, $x