Question

证明：循环群的同态像必定是循环群．

Answer 1

【答案】：设(A，★)是循环群，a为其生成元，e为其单位元．构造(A，★)的同态映射f，则f(A)={f(a^k)|a为A的生成元，k∈Z}．
定义f(A)上的二元运算*，下面验证(f(A)，*)为循环群．
①封闭性．f(a^k)*f(a¹)=f(a^k★a¹)=f(a^k+1)∈f(A)。
②可结合性．
(f(a^k)*f(a¹))*f(a^m)=f(a^k★a¹)*f(a^m)=f(a^k+1)*f(a^m)=f(a^k+1★a^m)
=f(a^k+1+m)=f(a^k★a^1+m)=f(a^k)*f(a¹★a^m)
=f(a^k)*(f(a¹)*f(a^m))．
③f(e)为(f(A)，*)的单位元，因为
f(e)*f(a¹)=f(e★a¹)=f(a¹)=f(a¹★e)=f(a¹)*f(e)．
④f(a^k)^-1=f(a^-k)，因为
f(a^k)*f(a^-k)=f(a^k★a^-k)=f(a^k-k)=f(e)．
⑤f(a^k)=f(a^k-1★a)=f(a^k-1)*f(a)=f(a^k-2)*f(a)*f(a)=…=f(a)^k，
即f(a)为(f(A)，*)的生成元．所以(f(A)，*)为循环群。