Question

,C的对边分别为a,b,c,且 (c-a)sinC=csin(B-A)，求B

Answer 1

我们可以利用正弦定理求解此题。

根据正弦定理，有：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

因此，可以将(c-a)sinC=csin(B-A)化简为：

(c-a)/c = sin(B-A)/sinC

代入正弦定理中的式子，得到：

(a/sinA - c/sinC)/c = sinB/sinC × cosA - cosB × sinA

将sinA和cosA表示为sinB和cosB的函数，得到：

(a/sinBc - c/sinB)/c = sinB/sinC × (1 - sin²B) - cosB × √(1 - sin²B)

化简得到：

a/sinB - c = sinB × c - asin²B/sinC - cosB × c√(1 - sin²B)

将sinC表示为sinB和sinA的函数，得到：

c = (sinB × a)/sinA

sinC = sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

代入得到：

c = (sinB × a)/(sinAcosB + cosAsinB)

将c代入原式，得到：

a/sinB - (sinB × a)/(sinAcosB + cosAsinB) = sinB × (sinB × a)/(sinAcosB + cosAsinB) - a × sin²B/(sinAcosB + cosAsinB) - cosB × (sinB × a)√(1 - sin²B)/(sinAcosB + cosAsinB)

通分并整理，得到：

a(cosB - sinB) = a × sin²B/sinA + cosB√(sin²B - sin²A)

移项并整理，得到：

sinB((1/sinA) × a - a cosB - √(sin²B - sin²A) cosB) = a sin²B/sinA

化简得到：

sinB(a - a cosB sinA/sinB - √(sin²B - sin²A) cosB sinA/sinB) = a sinB

移项并整理，得到：

sinB(a + a cosB sinA/sinB + √(sin²B - sin²A) cosB sinA/sinB) = a sinB

化简得到：

a + a cosB sinA/sinB + √(sin²B - sin²A) cosB sinA/sinB = a

移项并化简，得到：

cosB sinA/sinB = √(sin²B - sin²A)

代入三角恒等式sin²x + cos²x = 1，得到：

cosB cosA/sinB = sinA

移项并代入三角恒等式cos²x = 1 - sin²x，得到：

cosB = √(1 - sin²A)

因为B是锐角，所以：

B = arcsin(√(1 - sin²A))

因此，我们得到了B的解答。