Question

柯西审敛原理的充分性如何证明

同济第五版高等数学p55页

Answer 1

个人见解,仅供参考:

一般项趋于零并不能推出数列收敛,数列收敛还要有一个必要条件,即所有项之和趋于常数.

而在柯西审敛原理的充分性中,原理针对的是两个一般项Xm,Xn,两个一般项之差的绝对值趋于无穷小,这不仅说明了一般项收敛,也说明了数列之和趋于常数.

....因为如果柯西审敛原理的充分性成立的话，一般项趋于零的的原理也可以是充分条件"
柯西审敛原理中的那个充分条件比一般项趋于零条件强。一般项趋于零不能推导出那个充分条件。

Answer 2

个人见解,仅供参考:
一般项趋于零并不能推出数列收敛,数列收敛还要有一个必要条件,即所有项之和趋于常数.
而在柯西审敛原理的充分性中,原理针对的是两个一般项Xm,Xn,两个一般项之差的绝对值趋于无穷小,这不仅说明了一般项收敛,也说明了数列之和趋于常数.

Answer 3

因为数列上任意两点可以无限接近，最后必然重合，所以推广到整个数列上的点，最后全部收敛于一点，这一点就是数列极限。
即使不能重合，也是全部数列上的点趋向一点。柯西审敛原理充分性得证。
至于必要性，因为数列收敛，也就是所有点都趋向极限点。任意两点必然能够达到极限点周围一个极小范围，两点之差必然小于这个范围长度，所以，柯西审敛原理必要性得证。

Answer 4

".........因为如果柯西审敛原理的充分性成立的话，一般项趋于零的的原理也可以是充分条件"
柯西审敛原理中的那个充分条件比一般项趋于零条件强。一般项趋于零不能推导出那个充分条件。

Answer 5

对epsilon=1/2
>0，
任给n,存在2n+2>n+1>n
由1/(n+1)++1/(n+2)+....+1/(2n+2)>(n+1)/(2n+2)=1/2
所以调和级数发散