Question

设一批产品含有次品,现随机抽取50个,发现其中有3个次品,试求次品率θ的最大

Answer 1

一次估算后，次品率的最大估计值为0.06。
根据题目描述，我们要求这批产品的次品率θ的最大值。假设这批产品总共有N个，其中次品的个数为M，那么次品率θ可以表示为M/N。
根据题目给出的信息，我们进行一次抽样，从中抽取50个产品，其中有3个次品。我们可以将这个过程建模为二项分布。设X为随机变量，表示50个产品中次品的个数，X服从参数为50和θ的二项分布。
由于我们只进行了一次抽样，所以无法对θ进行准确的估计。但我们可以使用极大似然估计来估计θ的最大值。
极大似然估计的思想是选择使得观测数据出现的概率最大的参数值。对于二项分布而言，假设观测到3个次品，我们可以构建似然函数L(θ) = C(50, 3) * θ^3 * (1-θ)^(50-3)，其中C(50, 3)为组合数。
为了求解使得似然函数最大的θ值，我们对似然函数取对数，并对θ求导数，令导数等于0，解得似然方程：
d[ln(L(θ))] / dθ = 0
经过计算和化简，可以得到：
3/θ - (50-3)/(1-θ) = 0
解这个方程，可以得到θ的最大估计值为3/50，即次品率的最大估计值为0.06。
需要注意的是，这只是进行一次抽样得到的次品率的估计值，如果想要更准确的估计，需要进行更多次的抽样。此外，还需要考虑其他因素，如抽样的随机性、抽样方法等对估计结果的影响。