Question

4 圆心过2x y 1=0与x 2y 1-0交点,且与3x 4y 5-0相切,求圆的方程？

Answer 1

首先，圆的圆心过直线 2x-y+1=0，可以得出该直线的法向量为 (2,-1)，因此圆的半径所在的直线的法向量必须与其垂直。又因为圆与直线 x+2y-1=0 相切，因此该直线的法向量应该与直线 x+2y-1=0 的法向量 (1,2) 垂直，即两个法向量应该满足：
(2,-1)·(1,2) = 0
解得：2-2 = 0，这证明了两个法向量垂直。
设圆的圆心坐标为 (a,b)，则由圆与直线 x+2y-1=0 相切可知，圆心到该直线的距离等于圆的半径，即：
|(a+2b-1)/sqrt(1^2+2^2)| = r
又因为圆上的交点与直线 2x-y+1=0 相交，因此圆的半径 r 等于该交点到圆心的距离，即：
r = |(2a-b)/(sqrt(2^2+(-1)^2))|
将以上两个式子联立起来可得：
|(a+2b-1)/sqrt(5)| = |(2a-b)/sqrt(5)|
根据绝对值的特性，可分别列出以下两个方程：
a+2b-1 = 2a-b
a+2b-1 = -(2a-b)
解得 a = 1, b = 0 或 a = 3/5, b = 2/5。
当 a = 1, b = 0 时，该圆的方程为 (x-1)^2 + y^2 = 1；当 a = 3/5 , b = 2/5 时，该圆的方程为 (x-3/5)^2 + (y-2/5)^2 = 4/5。
因此，两个圆的方程分别为 (x-1)^2+y^2=1 和 (x-3/5)^2+(y-2/5)^2=4/5。