Question

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Answer 2

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Answer 3

绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文史类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合A= ，B= ，则A B等于
(A) (B)
(C) (D)
(2)函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x= 对称
（3）若a与b-c都是非零向量，则"a·b=a·c"是"a (b-c)"的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（4）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有
（A）36个 （B）24个
（C）18个 （D）6个
（5）已知 是（- ，+ ）上的增函数，那么a的取值范围是
（A）(1，+ ) （B）(- ,3)
(C) (D)(1,3)
(6)如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么
（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9
(C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
(7)设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面
（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
(C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
(D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC
(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1`x2`x3，分别表示该时段单位时间通过路段 , , 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则

（A）x1＞x2＞x3
（B）x1＞x3＞x2
（C）x2＞x3＞x1
（D）x3＞x2＞x1

绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文史类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题 号 二 三 总 分
15 16 17 18 19 20
分数

得分 评卷人

二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 。
（10）在 的展开式中，x3的系数是 .（用数字作答）
（11）已知函数 的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于
.
（12）已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且a b，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
（13）在△ABC中， A， B， C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c= , B的大小是 .
(14) 已知点P(x,y)的坐标满足条件 点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于____________,最大值等于______________.

三、解答题:本大题共6小,共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

得分 评卷人

(15)（本小题共12分）
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan = ，求f( )的值.

得分 评卷人

（18）（本小题共13分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

得分 评卷人

（20）（本小题共14分）
设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

答案:

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）B （3）C （4）A
（5）D （6）B （7）C （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）4 （10）84
（11）2 （12）
（13）5:7:8 （14）

三、解答题(本大题共6小题，共80分)
(15)(共12分)
解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+ （k∈Z),
故f(x)的定义域为｛|x|x≠kπ+ ,k∈Z｝.
(Ⅱ)因为tanα= ,且α是第四象限的角,
所以sinα= ,cosα= ,
故f(α)=
=
=
= .

(16)(共13分)
解法一：
(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上 (x)＞0,在(1,2)上 (x)＜0.
在(2,+∝)上 (x)＞0.
故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.
(Ⅱ) (x)=3ax2+2bx+c,
由 (1)=0, (2)=0, f(1)=5,
得
解得a=2,b=－9,c=12.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设 (x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,
又 (x)=3ax2+2bx+c,
所以a= ,b=
f(x)=
由f(l)=5,
即
得m=6.
所以a=2,b=－9,c=12.

（18）（共13分）
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B· )+P( ·B·C)+P(A· ·C)+P(A·B·C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27
=0.75.
(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率
p2= P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C)
= ×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)
= ×1.29
=0.43

(19)(共14分)
解法一：
(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以 ，a=3.
在Rt△PF1F2中， 故椭圆的半焦距c= ,
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C的方程为 ＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l的方程为
y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称.
所以
解得 ，
所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1 x2且
①
②
由①－②得
③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得 ＝ ，
即直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为y－1＝ （x+2），
即8x－9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,
故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
（Ⅱ）由 得

即
由①+②得－7d＜11。
即d＞－ 。
由①+③得13d≤－1
即d≤－
于是－ ＜d≤－
又d∈Z,故
d=－1
将④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是
an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 在复平面内，复数 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）若 与 都是非零向量，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A）36个 （B）24个
（C）18个 （D）6个
（4）平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是
（A）一条直线 （B）一个圆
（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支
（5）已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 上的任意 ， 恒成立”的只有
（A） （B）
（C） （D）
（7）设 ，则 等于
（A） （B）
（C） （D）
（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50
（A）
（B）
（C）
（D）

绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9） 的值等于__________________.
（10）在 的展开式中， 的系数中__________________（用数字作答）.
（11）若三点 共线，则 的值等于_________________.
（12）在 中，若 ，则 的大小是______________.
（13）已知点 的坐标满足条件 ，点 为坐标原点，那么 的最小值等于_______,最大值等于____________.
（14）已知 三点在球心为 ，半径为 的球面上， ，且 ，那么 两点的球面距离为_______________，球心到平面 的距离为______________.

三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知函数 ，
（Ⅰ）求 的定义域；
（Ⅱ）设 是第四象限的角，且 ，求 的值.
（16）（本小题共13分）
已知函数 在点 处取得极大值 ，其导函数 的图象经过点 ， ，如图所示.求：
（Ⅰ） 的值；
（Ⅱ） 的值.
（17）（本小题共14分）
如图，在底面为平行四边表的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小.

（18）（本小题共13分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

（19）（本小题共14分）
已知点 ，动点 满足条件 .记动点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.

（20）（本小题共14分）
在数列 中，若 是正整数，且 ，则称 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ， ，分别判断当 时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）C （3）B （4）A
（5）C （6）A （7）D （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）－14
（1） （12）
（13） （14）

三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）由cosx≠0得
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）因为 ，且a是第四象限的角。
所以 ，
故

（16）（共13分）
解法一：
（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上 ，在（1，2）上 ，
在（2，＋∞）上
故 在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此 在x=1处取得极大值，所以 。
（Ⅱ）
由
得
解得a=2，b= -9，c=12

解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设
又
所以

由
即
得m=6
所以a=2，b= -9，c=12

（17）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD
∴AB是PB在平面ABCD上的射影
又∵AB⊥AC，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PB
（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。
∵ABCD是平等四边形，
∴O是BD的中点，
又E是PD的中点，
∴EO‖PB
又PB 平面AEC，EO 平面AEC，
∴PB‖平面AEC。
（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为
又
∴
∴OE⊥AC，OG⊥AC
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。
∵

∴

∴二面角 的大小为

（18）（共13分）
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则
（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率

应聘者用方案二考试通过的概率

（Ⅱ）因为 所以

即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。

（19）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）由 知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长
又半焦距c=2，故虚半轴长
所以W的方程为
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（ ），（ ）
当
当AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：

故
所以

又因为
综上，当 取得最小值2。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为 ，则

令
则 ，所以

当且仅当 时，“=”成立
所以 的最小值是2。

（20）（共14分）
（Ⅰ）解：
（答案不惟一）
（Ⅱ）解：因为绝对差数列 ，所以自第20项开始，该数列是 。
即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当 时，an的极限不存在。
当
（Ⅲ）证明：根据定义，数列 必在有限项后出现零项，证明如下：
假设 中没有零项，由于 ，所以对于任意的n，都有 ，从而当
；
当
即 的值要么比 至少小1，那么比 至少小1。
令
则
由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c1<0，这与cn>0（n=1,2,3,…）矛盾，从而 必有零项。
若第一次出现的零项为第n项，记 ，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A即

所以绝对差数列 中有无穷多个零的项。