Question

已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC

在RtΔABC中,AB=3,BC=4, ∠ABC=90度,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC，得阴影RtΔA1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC，得阴影RtΔA2B2B1；……如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形面积之和

Answer 1

A1B1B是ABC面积的(12/25)^2
A2B2B1是A1B1C面积的(12/25)^2
....
AnBnBn-1是An-1Bn-1C面积的(12/25)^2

A1B1C是ABC面积的(16/25)^2
A2B2C是A1B1C面积的(16/25)^2
....
AnBnC是An-1Bn-1C面积的(16/25)^2

阴影三角形的面积成正比 公比为(16/25)^2 首项为3*4/2*(12/25)^2
和为[3*4/2*(12/25)^2]*{1-[(16/25)^2]^n}/[1-(16/25)^2]
=[3*4/2*(12/25)^2]/[1-(16/25)^2]=96/41

Answer 2

CA1等于2.5，C4A5/A5C5等于5/4。这道题目是通过相似三角形做的，我没有去计算，口算的。其实你只要画图一看，就知道C4A5/A5C5等于CA1/A1C1，也就是BC/AB。所以这样的题目其实很简单，只是你缺少发现而已。