Question

求x→0时(x+e^x)^(2/x)的极限

如题,要过程

Answer 1

原式=lim(x->0){e^[2ln(x+e^x)/x]}
=e^{lim(x->0)[2ln(x+e^x)/x]} 
=e^{lim(x->0)[2(1+e^x)/(x+e^x)]} 
=e^[2(1+1)/(0+1)]
=e^4。

以下是极限的相关介绍：

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。

这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。

到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过，各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，其描述的内涵接近于‘极限的正确定义。

以上资料参考百度百科——极限

Answer 2

解法一：原式=lim(x->0){e^[2ln(x+e^x)/x]} (应用对数性质)
=e^{lim(x->0)[2ln(x+e^x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[2(1+e^x)/(x+e^x)]} (应用罗比达法则）
=e^[2(1+1)/(0+1)]
=e^4
解法二：原式=lim(x->0){[1+(x+e^x-1)]^[(1/(x+e^x-1))*(2(x+e^x-1)/x)]}
=lim(x->0)【{[1+(x+e^x-1)]^[1/(x+e^x-1)]}^[2(x+e^x-1)/x]】
=e^{lim(x->0)[2(x+e^x-1)/x]} (应用重要极限lim(x->0)[(1+x)^(1/x)]=e)
=e^{lim(x->0)[2(1+e^x)]} (应用罗比达法则)
=e^[2(1+1)]
=e^4

Answer 3

e^x展开成1+x+x^2/2!+x^3/3!+……，略去2阶以上小量取1+x，
原式=lim (1+2x)^(2/x)
=lim [(1+2x)^(1/2x)]^4
=e^4

Answer 4

答：
原式
=lim x->0 (1+x)^(2/x)
=lim x->0 (1+1/(1/x))^((1/x)*2)
=e^2