Question

在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,求证|AB|^2+|AC|^2=2(|AD|^2+|DC|^2)

急用 谢谢

Answer 1

作AE垂直于BC,垂足E(假设E在D的右侧),
AB²=AE²+BE²,
AC²=AE²+EC²,
两式相加:
AB²+AC²=2AE²+BE²+EC²,
AB²+AC²
=2(AD²-DE²)+(BD+DE)²+(DC-DE)²,
=2AD²-2DE²+BD²+2BD*DE+DE²+DC²-2DC*DE+DE²,
AD是BC边上的中线,BD=DC,所以:
AB²+AC²
=2AD²+DC²+2DC*DE+DC²-2DC*DE
=2AD²+2DC²
=2(AD²+DC²)