Question

如图a，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，证明1/AB+1/CD=1/EF成立

若将图中的垂直改为斜交，如图b，AB//CD，AD，BC相交于点E，EF//AB交BD于点F，则 （1）1/AB+1/CD=1/EF成立吗？如果成立，请给出证明，如不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BCD和S△EBD之间的关系，并给出证明。

Answer 1

解：
∵AB，CD,EF分别垂直BD
∴AB‖EF‖CD
∴EF/AB=DF/BD EF/CD=BF/BD
∵DF/BD+BF/BD=1
∴EF/AB+EF/CD=1
∴1/AB+A/CD=1/EF

垂直改为斜交也成立 只要满足AB‖EF‖CD

分别过A E C做BD的垂线 交BD于A' E' C'

根据最上面的证明可得：1/AA'+1/CC'=1/EE'

∴EE'/AA'+EE'/CC'=1

∵S△ABD=1/2(BD*AA')，S△BCD=1/2(BD*EE'),S△EBD=1/2(BD*CC')

∴S△BCD:S△ABD=EE'/AA' S△BCD:S△EBD=EE'/CC'

∴S△BCD:S△ABD+S△BCD:S△EBD=1

Answer 2

ef/ab=df/bd
ef/cd=bf/bd
两市相加，约分
搞定